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Péndulo balístico: del choque a la altura máxima.

Un proyectil de 20 g se mueve horizontalmente hacia la derecha y se incrusta en un bloque de 0,98 kg que cuelga, inicialmente en reposo, de una cuerda ideal de 1,6 m. Después del impacto, el conjunto sube hasta que la cuerda forma 60° con la vertical. Durante el choque, el impulso externo horizontal es despreciable. Despreciá el aire y el roce en el eje de suspensión. Usá g = 10 m/s².

Hallá la altura alcanzada, la rapidez del conjunto justo después del choque, la rapidez inicial del proyectil y la energía cinética perdida en el impacto.

Proyectil
m = 20 g · rapidez desconocida
Bloque y cuerda
M = 0,98 kg · L = 1,6 m
Ascenso
θₘₐₓ = 60°

Separá el impacto de la subida: cada etapa tiene un principio físico distinto.

Péndulo balístico: un proyectil de 20 g llega desde la izquierda a un bloque colgante de 0,98 kg; la cuerda mide 1,6 m y el conjunto llega a 60 grados con la vertical.

Razonalo paso a paso.

1. Definí las etapas y marcá los ejes

Tomá A justo antes del impacto, B inmediatamente después y C en la altura máxima. En A el bloque está quieto y el proyectil avanza hacia la derecha; en B quedan unidos. Usá un marco inercial fijo al suelo: +x a la derecha y +y hacia arriba. El choque y la subida se estudian por separado.

+x: →+y: ↑m=0,020 kg,M=0,98 kgux>0,uM,x=0\begin{aligned}+x&:\ \rightarrow\\+y&:\ \uparrow\\m&=0{,}020\,\mathrm{kg},\quad M=0{,}98\,\mathrm{kg}\\u_x&>0,\quad u_{M,x}=0\end{aligned}
Péndulo balístico con origen en la posición baja: eje x positivo hacia la derecha y eje y positivo hacia arriba; el proyectil avanza y el bloque está inicialmente quieto.
2. Justificá la conservación de la cantidad de movimiento horizontal

Para el sistema proyectil–bloque, las fuerzas que se hacen mutuamente durante el choque son internas y se cancelan al sumar. Por eso la variación de la cantidad de movimiento total depende solo de las fuerzas externas. El peso es vertical y, en la posición baja, la tensión de la cuerda es prácticamente vertical; durante el breve impacto, el impulso externo horizontal es despreciable. Al integrar la derivada entre A y B, el cambio de Pₓ resulta igual a ese impulso: Pₓ permanece constante. No afirmamos que se conserve la componente vertical ni la energía cinética.

dP⃗dt=∑F⃗extdPxdt=∑Fext,x≈0PB,x−PA,x=Jext,x≈0PA,x=PB,xmux+M(0)=(m+M)Vxmux=(m+M)Vx\small\begin{aligned}\frac{d\vec P}{dt}&=\sum\vec F_{\mathrm{ext}}\\\frac{dP_x}{dt}&=\sum F_{\mathrm{ext},x}\approx0\\P_{B,x}-P_{A,x}&=J_{\mathrm{ext},x}\approx0\\P_{A,x}&=P_{B,x}\\mu_x+M(0)&=(m+M)V_x\\mu_x&=(m+M)V_x\end{aligned}
3. Aplicá energía mecánica solo durante la subida

Entre B y C el proyectil ya está incrustado. Elegí como sistema el conjunto y la Tierra. Sin aire ni roce en el eje, la tensión es perpendicular al desplazamiento y no hace trabajo; por eso la energía mecánica se conserva en la subida. Tomá altura cero en B. En C el conjunto se detiene un instante: su energía cinética es cero. En B la energía potencial gravitatoria es cero.

Em,C−Em,B=Wnc,B→C=0Ecin,C+Epot,C=Ecin,B+Epot,B0+(m+M)gh=12(m+M)V2+0gh=12V2\small\begin{aligned}E_{m,C}-E_{m,B}&=W_{\mathrm{nc},B\to C}=0\\E_{\mathrm{cin},C}+E_{\mathrm{pot},C}&=E_{\mathrm{cin},B}+E_{\mathrm{pot},B}\\0+(m+M)gh&=\tfrac12(m+M)V^2+0\\gh&=\tfrac12V^2\end{aligned}
4. Hallá la altura a partir del ángulo

La longitud L de la cuerda es la distancia desde el punto de suspensión hasta el conjunto. En B cuelga verticalmente; en C forma 60° con la vertical. La proyección vertical de la cuerda en C es L cos 60°. La diferencia con L es la subida h; no confundas L con h.

h=L−Lcos⁡θmax⁡=L(1−cos⁡60∘)=1,6(1−0,5) m=0,80 m\begin{aligned}h&=L-L\cos\theta_{\max}\\&=L(1-\cos60^\circ)\\&=1{,}6(1-0{,}5)\,\mathrm m\\&=0{,}80\,\mathrm m\end{aligned}

El conjunto sube 0,80 m.

5. Despejá la rapidez inmediatamente después del choque

Llevá la altura obtenida a la ecuación de energía de B a C. Primero calculá V² y después tomá la raíz positiva: en B el conjunto comienza a subir hacia la derecha.

gh=12V2V2=2gh=2(10 m/s2)(0,80 m)=16 m2/s2V=+4,0 m/s\begin{aligned}gh&=\tfrac12V^2\\V^2&=2gh\\&=2(10\,\mathrm{m/s^2})(0{,}80\,\mathrm m)\\&=16\,\mathrm{m^2/s^2}\\V&=+4{,}0\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

Justo después del impacto, ambos avanzan juntos a 4,0 m/s.

6. Recuperá la rapidez inicial del proyectil

Volvé a la conservación de la cantidad de movimiento horizontal, válida durante A → B. Sustituí la masa total y V. Dividí por la masa del proyectil, convertida antes de gramos a kilogramos.

mux=(m+M)Vxux=m+MmVx=0,020+0,980,020(4,0)=+200 m/s\begin{aligned}mu_x&=(m+M)V_x\\u_x&=\frac{m+M}{m}V_x\\&=\frac{0{,}020+0{,}98}{0{,}020}(4{,}0)\\&=+200\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

El proyectil llegaba a 200 m/s hacia la derecha.

7. Calculá la energía cinética perdida en el impacto

La energía mecánica se conservó en la subida B → C, pero no en el choque A → B: el proyectil queda incrustado y el impacto transforma parte de la energía cinética en otras formas. Calculá las energías cinéticas justo antes y justo después del choque, sin incluir la subida, y restalas.

Ecin,A=12mux2+12M(0)2=12(0,020)(200)2=400 JEcin,B=12(m+M)V2=12(1,00)(4,0)2=8 JEcin,perdida=Ecin,A−Ecin,B=400−8=392 J\small\begin{aligned}E_{\mathrm{cin},A}&=\tfrac12mu_x^2+\tfrac12M(0)^2\\&=\tfrac12(0{,}020)(200)^2=400\,\mathrm J\\E_{\mathrm{cin},B}&=\tfrac12(m+M)V^2\\&=\tfrac12(1{,}00)(4{,}0)^2=8\,\mathrm J\\E_{\mathrm{cin,perdida}}&=E_{\mathrm{cin},A}-E_{\mathrm{cin},B}\\&=400-8=392\,\mathrm J\end{aligned}

En el choque se pierden 392 J de energía cinética.

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